zeta Olasılık kütle fonksiyonu
log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak için verilmiştir; süreklilik ifade etmezler.) |
Yığmalı dağılım fonksiyonu
|
Parametreler | |
Destek | |
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | |
Ortalama | |
Medyan | |
Mod | |
Varyans | |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi | |
Moment üreten fonksiyon (mf) | |
Karakteristik fonksiyon | |
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır.[1][2] Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:
Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).
Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.
Momentler
Genel olarak, ninci ham moment Xnin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:
Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment
olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'
Moment üreten fonksiyon
Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:
Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve için geçerlidir ve bu halde
Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:
Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden
için şu ifadeyi elde ederiz:
değeri şöyle verilir
burada Hs bir harmonik sayı olur.
s=1 hali
Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani
var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade
bu yoğunluğa eşittir.
Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:
Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.
Kaynakça
- ^ Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.
- ^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.
Ayrıca bakınız
Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:
Dış bağlantılar
- Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır
|
---|
Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli | |
---|
Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli | |
---|
Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli | Beta · Irwin-Hall · Kumaraswamy · Kabartılmış kosinus · Üçgensel · U-kuadratik · Sürekli tekdüze · Wigner yarımdaire |
---|
Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli | Beta prime · Bose–Einstein · Burr · Ki-kare · Coxian · Erlang · Üstel · F-dağılımı · Fermi-Dirac · Katlanmış normal · Fréchet · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Yarı-normal · Hotelling'in T-kare · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare (Ölçeklenmiş ters ki-kare) · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Lévy · Log-normal · Log-logistik · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hız · Nakagami · Merkezsel olmayan ki-kare · Pareto · Faz-tipi · Rayleigh · Relativistik Breit–Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Kesilmiş normal · 2.tip Gumbel · Weibull · Wilks'in lambda |
---|
Sürekli tek değişkenli ve (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli | Cauchy · Uçsal değer · Üstel güç · Fisher'in z · Genelleştirilmiş hiperbolik · Gumbel · Hiperbolik sekant · Landau · Laplace · Lévy çarpık alfa-durağan · Logistik · Normal (Gauss tipi) · Normal ters Gauss-tipi · Çarpık normal · Student'in t · 1.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt |
---|
Çok değişkenli (birleşik) | Ayrık: Ewens · Beta-binom · Multinom · Çokdeğişirli Polya Sürekli: Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · normal-ölçeklenmiş ters gamma · Normal-gamma Matris-değerli: Ters-Wishart · Matris normal · Wishart |
---|
Yönsel, Bozulmuş ve singuler | |
---|
Aileler | Üstel · Doğasal üstel · Konum-ölçekli · Maksimum entropi · Pearson · Tweedie |
---|