Conjectura de Oppermann

A Conjectura de Oppermann é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos.^[1] É intimamente ligada, mas mais forte que as conjecturas de Legendre, Andrica e Brocard. Tem esse nome devido a Ludvig Oppermann, que a propôs em 1882.^[2]

Conjectura

A conjectura afirma que, para todo (${\displaystyle \forall }$) número inteiro ${\displaystyle x>1}$, existe ao menos um número primo entre

${\displaystyle x(x-1)}$ e ${\displaystyle x^{2}}$,

e ao menos outro número primo entre

${\displaystyle x^{2}}$ e ${\displaystyle x(x+1)}$.

Pode ser enunciado de forma equivalente utilizando a função de contagem de números primos.^[3] Ou seja:

${\displaystyle \pi ({x^{2}-x})<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)}$ para ${\displaystyle x>1}$

com ${\displaystyle \pi (x)}$ sendo a quantidade números primos menores ou iguais a x.

Consequências

Se a conjectura for verdadeira, então a diferença entre dois primos consecutivos pode ser ordenada por

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,}$.

O que significa que pode haver ao menos dois primos entre x² e (x + 1)² (um no intervalo entre x² e x(x + 1) e o segundo no intervalo entre x(x + 1) e (x + 1)²), provando a conjectura de Legendre que diz que há ao menos um primo no intervalo.

A conjectura também implica que ao menos um número primo pode ser encontrado em cada revolução da Espiral de Ulam.

Status

Mesmo para pequenos valores de x, a quantidade de números primos no intervalo é muito maior que 1, fornecendo fortes indícios de que a conjectura seja de fato verdadeira. Apesar disso, nenhuma demonstração matemática analítica foi apresentada até o fim de 2016..^[1]

Ver também

• Conjectura de Firoozbakht
• Teorema do número primo
• Conjectura de Goldbach
• Conjectura de Legendre

Referências

• Portal da matemática