Twierdzenie Kirszbrauna

Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae”[1]. Kirszbraun udowodnił przedstawione niżej twierdzenie dla odwzorowań spełniających warunek Lipschitza, które działają pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi. Przedstawiony niżej przypadek ogólny dla przestrzeni Hilberta pochodzi od Valentine’a[2].

Twierdzenie

Niech H {\displaystyle H} i K {\displaystyle K} będą rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta oraz niech U ⊆ H {\displaystyle U\subseteq H} będzie niepustym zbiorem. Każda funkcja f : U → K , {\displaystyle f\colon U\to K,} spełniająca warunek Lipschitza ze stałą L {\displaystyle L} może być przedłużona do funkcji F : H → K , {\displaystyle F\colon H\to K,} która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą.

Wersja twierdzenia w przypadku gdy przeciwdziedziną są liczby rzeczywiste

W przypadku, gdy ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} jest dowolną przestrzenią metryczną, a U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} jest niepustym podzbiorem, każdą funkcję f : U → R , {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,} spełniająca warunek Lipschitza ze stałą L {\displaystyle L} można przedłużyć do funkcji F : X → R , {\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} ,} która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą. Istotnie, funkcja dana wzorem

F ( x ) = inf y ∈ U { f ( y ) + L ⋅ d ( x , y ) } ( x ∈ X ) {\displaystyle F(x)=\inf _{y\in U}\{f(y)+L\cdot d(x,y)\}\quad (x\in X)}

jest takim właśnie przedłużeniem[3].

Uogólnienia

Lang i Schroeder rozszerzyli twierdzenie Kirszbrauna na przestrzenie metryczne spełniające górne bądź dolne ograniczenia krzywizny w sensie Aleksandrowa[4].

Przypisy

  1. ↑ M.D. Kirszbraun. Ueber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. „Fund. Math.”. 22, s. 77–108, 1934. 
  2. ↑ F.A. Valentine, A Lipschitz condition preserving extension for a vector function, Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93.
  3. ↑ Mattila 1995 ↓, s. 100.
  4. ↑ U. Lang, V. Schroeder. Kirszbraun’s Theorem and Metric Spaces of Bounded Curvature. „Geometric and Functional Analysis”. 7, s. 535–560, 1997. 

Bibliografia

  • A.V. Akopyan, A.S. Tarasov, A constructive proof of Kirszbraun’s theorem (Russian), Mat. Zametki 84 (2008), no. 5, 781-784; translation in Math. Notes 84 (2008), no. 5–6, 725–728.
  • Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press, 1995.

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Kirszbraun theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-15].