Odwzorowania otwarte i domknięte

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte – terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Definicje

Niech ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ i ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest otwarta, jeśli obraz każdego otwartego podzbioru ${\displaystyle X}$ jest otwarty w ${\displaystyle Y.}$ Tak więc ${\displaystyle f}$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle {\big (}\forall A\in \tau _{X}{\big )}{\big (}f(A)\in \tau _{Y}{\big )}.}$

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli ${\displaystyle f}$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

${\displaystyle {\big (}\forall A\in \tau _{X}{\big )}{\big (}Y\setminus f(X\setminus A)\in \tau _{Y}{\big )}.}$

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji ${\displaystyle f,}$ w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja ${\displaystyle f}$ jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski^[1], Engelking^[2]

Przykłady

• Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
• Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
• Jeśli ${\displaystyle X=\prod \limits _{i\in I}X_{i}}$ jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, ${\displaystyle j\in I}$ oraz

${\displaystyle \pi _{j}\colon X\longrightarrow X_{j}:{\bar {x}}=\langle x_{i}:i\in I\rangle \mapsto x_{j}}$

jest rzutem na ${\displaystyle j}$-tą współrzędną, to ${\displaystyle \pi _{j}}$ jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni ${\displaystyle X}$ na przestrzeń ${\displaystyle X_{j}.}$

• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła).
• Funkcja ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} :r\mapsto r^{2}}$ jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow [0,\infty )}$ jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

Charakteryzacje i własności

• Niech ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y.}$ Wówczas

(a) ${\displaystyle f}$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru ${\displaystyle B\subseteq Y}$ i każdego domkniętego zbioru ${\displaystyle A\subseteq X,}$ takiego że ${\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq A,}$ istnieje zbiór domknięty ${\displaystyle C\subseteq Y,}$ taki że ${\displaystyle B\subseteq C}$ i ${\displaystyle f^{-1}(C)\subseteq A;}$

(b) ${\displaystyle f}$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru ${\displaystyle B\subseteq Y}$ i każdego otwartego zbioru ${\displaystyle A\subseteq X,}$ takiego że ${\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq A,}$ istnieje otwarty zbiór ${\displaystyle C\subseteq Y,}$ taki że ${\displaystyle B\subseteq C}$ i ${\displaystyle f^{-1}(C)\subseteq A.}$

• Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
• Funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ topologii na ${\displaystyle X,}$ taka że ${\displaystyle f(U)}$ jest otwarte w ${\displaystyle Y}$ dla każdego ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}.}$
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą i ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest odwzorowaniem domkniętym.
• Przypuśćmy, że odwzorowanie ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) Odwzorowanie ${\displaystyle f}$ jest homeomorfizmem.

(ii) Odwzorowanie ${\displaystyle f}$ jest domknięte i ciągłe.

(iii) Odwzorowanie ${\displaystyle f}$ jest otwarte i ciągłe.

(iv) Dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq X,}$

${\displaystyle f(A)}$ jest domknięty w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ jest domknięty w ${\displaystyle X.}$

(v) Dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq X,}$

${\displaystyle f(A)}$ jest otwarty w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ jest otwarty w ${\displaystyle X.}$

Zobacz też

• funkcja ciągła
• homeomorfizm

Przypisy