Model Debye’a ciała stałego
Model Debye’a – model fizyczny ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debye’a w 1912 r., pozwalający wyznaczyć zależność ciepła właściwego od temperatury.
Założenia modelu
Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, punktowych ciał połączonych sprężynami wykonujących drgania swobodne. Oznacza to, że w ciele stałym o atomach liczba drgań własnych sieci jest równa a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej[1] (częstości Debye’a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele[2].
W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem harmonicznych oscylatorów kwantowych. W modelu Debye’a rozkład częstości oscylatorów dany jest przez zależność:
gdzie:
- częstość Debye’a,
- – objętość ciała,
- – liczba atomów w ciele,
- – uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.
Energia wewnętrzna w statystyce kwantowej to:
- dla każdej polaryzacji,
gdzie:
- – stała Boltzmanna,
- – stała Plancka podzielona przez
a ciepło właściwe:
więc:
gdzie: temperatura Debye’a.
Granica wysokiej temperatury
Jeżeli to: (prawo Dulonga-Petita),
gdzie:
Granica niskiej temperatury
Jeżeli to:
- prawo Debye’a.
Wnioski
Model Debye’a zakłada, że w sieci krystalicznej propagują się fale tak jak w innych ośrodkach. Jednak istnienie obcięcia dla pewnej częstości związane jest z tym, że fale o długościach porównywalnych i mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.
Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.
Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.
Temperatura Debye’a
Temperatury Debaye’a dla wybranych substancji:
aluminum | 426 K | platyna | 240 K | |
kadm | 186 K | krzem | 640 K | |
chrom | 610 K | srebro | 225 K | |
miedź | 344,5 K | cyna (biała, β) | 195 K | |
złoto | 165 K | tytan | 420 K | |
α-Żelazo | 464 K | wolfram | 405 K | |
ołów | 96 K | cynk | 300 K | |
α-Mangnez | 476 K | diament | 2200 K | |
nikiel | 440 K | lód | 192 K |