Krzywa regularna

Krzywa regularna – krzywa kawałkami gładka.

Definicje formalne

1. Parę uporządkowaną ${\displaystyle \Gamma =(\gamma ,|\Gamma |),}$ gdzie ${\displaystyle \gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |\Gamma |=\gamma ([\alpha ,\beta ]),}$ nazywamy krzywą regularną, gdy ${\displaystyle \gamma }$ jest funkcją ciągłą oraz istnieje skończony układ punktów ${\displaystyle \{t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\}}$ takich, że ${\displaystyle \alpha =t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=\beta }$ i ${\displaystyle \gamma |_{[t_{i-1},t_{i}]}}$ ma w każdym punkcie przedziału ${\displaystyle [t_{i-1},\ t_{i}],}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\},}$ ciągłą pochodną. Punkty ${\displaystyle \gamma (\alpha ),\gamma (\beta )}$ nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej ${\displaystyle \Gamma ,}$ zbiór ${\displaystyle |\Gamma |}$ jej podkładem lub nośnikiem, a funkcję ${\displaystyle \gamma }$ parametryzacją.
2. Krzywa ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{n}}$ jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \exists (K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}K_{i}}$ jest łukiem regularnym i koniec ${\displaystyle K_{i}}$ jest identyczny z początkiem ${\displaystyle K_{i+1}.{:}}$ Jeżeli dodatkowo koniec ${\displaystyle K_{n}}$ równa się początkowi ${\displaystyle K_{1}}$ to krzywą ${\displaystyle L}$ nazywamy krzywą regularną zamkniętą.

Równoważność krzywych regularnych

Niech ${\displaystyle \Gamma ,{\tilde {\Gamma }}}$ będą krzywymi regularnymi o parametryzacjach odpowiednio ${\displaystyle \gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [{\tilde {\alpha }},{\tilde {\beta }}]\to \mathbb {C} .}$ Krzywe ${\displaystyle \Gamma ,{\tilde {\Gamma }}}$ są krzywymi równoważnymi, gdy istnieje surjekcja rosnąca (i tym samym ciągła) ${\displaystyle \sigma \colon [\alpha ,\beta ]\to [{\tilde {\alpha }},{\tilde {\beta }}]}$ oraz układ punktów ${\displaystyle \alpha =t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=\beta ,}$ taki że dla każdego ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ funkcja ${\displaystyle \sigma |_{[t_{i-1},t_{i}]}}$ ma dodatnią ciągłą pochodną i ${\displaystyle \gamma ={\tilde {\gamma }}\circ \sigma .}$

Operacje na krzywych regularnych

Krzywa przeciwna

Niech ${\displaystyle \Gamma }$ będzie krzywą regularną o parametryzacji ${\displaystyle \gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} .}$ Krzywą o opisie parametrycznym ${\displaystyle \gamma _{1}}$ danym wzorem ${\displaystyle \gamma _{1}(t)=\gamma (-t)}$ dla ${\displaystyle t\in [-\beta ,-\alpha ]}$ nazywamy krzywą przeciwną do ${\displaystyle \Gamma }$ i oznaczamy ${\displaystyle -\Gamma .}$

Suma krzywych

Niech ${\displaystyle \gamma _{1}\colon [\alpha _{1},\beta _{1}]\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\colon [\alpha _{2},\beta _{2}]\to \mathbb {C} ,}$ będą odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych ${\displaystyle \Gamma _{1},}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}.}$ Jeśli ${\displaystyle \gamma _{1}(\beta _{1})=\gamma _{2}(\alpha _{2}),}$ to krzywą o opisie parametrycznym ${\displaystyle \gamma }$ danym wzorem

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{cases}\gamma _{1}(t)&{\text{dla }}t\in [\alpha _{1},\beta _{1}]\\\gamma _{2}(t-\beta _{1}+\alpha _{2})&{\text{dla }}t\in [\beta _{1},\beta _{1}+\beta _{2}-\alpha _{2}]\end{cases}}}$

nazywamy sumą tych krzywych i oznaczamy ${\displaystyle \Gamma _{1}+\Gamma _{2}}$

Przykłady

• Niech ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$ Odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie ${\displaystyle a}$ i końcu w punkcie ${\displaystyle b}$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym ${\displaystyle \gamma }$ danym wzorem ${\displaystyle \gamma (t)=a+t(b-a),}$ ${\displaystyle t\in [0,1].}$
• Dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ i promieniu ${\displaystyle r>0}$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym ${\displaystyle \gamma }$ danym wzorem ${\displaystyle \gamma (t)=a+r\exp(it),}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ].}$
• Niech dany będzie skończony ciąg punktów ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} .}$ Łamaną zorientowaną o początku w punkcie ${\displaystyle z_{1}}$ i końcu w punkcie ${\displaystyle z_{n}}$ nazywamy krzywą ${\displaystyle I_{1}+\ldots +I_{n-1},}$ gdzie ${\displaystyle I_{k}}$ jest odcinkiem zorientowanym o początku w ${\displaystyle z_{k}}$ i końcu w ${\displaystyle z_{k+1}.}$

Bibliografia

• Jacek Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, ISBN 83-01-13021-0.