BB84

BB84^[1] – protokół kwantowej dystrybucji klucza wynaleziony przez Charlesa Bennetta i Gilles’a Brassarda w 1984 roku. Jest to pierwszy protokół kryptografii kwantowej. Można udowodnić, że ten protokół jest bezpieczny w oparciu o fundamentalne prawa fizyki (zasadę nieoznaczoności, no-cloning theorem), a nie o ograniczenia techniczne (mocy obliczeniowej), jak w przypadku protokołów klasycznych (np. RSA).

Opis

Celem protokołu BB84 jest przekazanie jawnym kanałem ciągu bitów, tak, by był znany tylko nadawcy i odbiorcy. Tradycyjnie nadawcę nazywa się Alicją, a odbiorcę Bobem. Alicja zaczyna od wygenerowania dwóch losowych ciągów bitów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ oba długości ${\displaystyle n.}$ Następnie, koduje te dwa ciągi jako ciąg ${\displaystyle n}$ kubitów,

${\displaystyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=1}^{n}|\psi _{a_{i}b_{i}}\rangle .}$

gdzie ${\displaystyle a_{i}}$ i ${\displaystyle b_{i}}$ to ${\displaystyle i}$-te bity odpowiednio ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b.}$ Indeks ${\displaystyle a_{i}b_{i}}$ oznacza jeden z czterech stanów kubitu:

${\displaystyle |\psi _{00}\rangle =|}$${\displaystyle \rangle }$

${\displaystyle |\psi _{10}\rangle =|}$${\displaystyle \rangle }$

${\displaystyle |\psi _{01}\rangle =|}$${\displaystyle \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|}$${\displaystyle \rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|}$${\displaystyle \rangle }$

${\displaystyle |\psi _{11}\rangle =|}$${\displaystyle \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|}$${\displaystyle \rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|}$${\displaystyle \rangle }$

Fizyczną realizacją kubitów proponowaną przez autorów protokołu są pojedyncze fotony o polaryzacjach liniowych w bazie standardowej ${\displaystyle 0^{\circ },}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ oraz w bazie polaryzacji skośnych ${\displaystyle 45^{\circ },}$ ${\displaystyle 135^{\circ }.}$

Ta procedura koduje kolejne bity ciągu ${\displaystyle a}$ w bazach wyznaczonych przez odpowiadające im bity ciągu ${\displaystyle b.}$

Alicja przesyła Bobowi skonstruowany ciąg kubitów ${\displaystyle |\psi \rangle }$ kanałem publicznym. Bob próbuje poznać bity ciągu ${\displaystyle a,}$ ale nie wie, w jakich bazach ${\displaystyle b_{i}}$ zostały one zakodowane. Generuje on losowy ciąg ${\displaystyle n}$ bitów ${\displaystyle b'.}$ Następnie mierzy stany kubitów przesłanych przez Alicję w bazach wyznaczonych przez ciąg ${\displaystyle b',}$ uzyskując ciąg bitów ${\displaystyle a'.}$ Jeżeli ${\displaystyle b_{i}=b'_{i},}$ czyli bazy zostały wybrane zgodnie to ${\displaystyle a_{i}=a'_{i}}$ i Bob odczytuje prawidłową wartość bitu ${\displaystyle a_{i}.}$ W przeciwnym przypadku odczytuje ${\displaystyle 0}$ lub ${\displaystyle 1}$ z równym prawdopodobieństwem.

Po zakończeniu pomiaru przez Boba następuje procedura ujawnienia baz: Alicja i Bob przesyłają kanałem publicznym ciągi ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle b'.}$ Następnie porównują te ciągi i odrzucają te bity ciągów ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a',}$ które zostały zmierzone w innej bazie niż zostały wysłane (średnio odrzucają połowę bitów, a te, które pozostają, są identyczne). Ciąg pozostałych bitów może zostać wykorzystany jako jednorazowy klucz.

Przykład

losowy bit Alicji ${\displaystyle a_{i}}$	0	1	1	0	1	0	0	1
losowa baza Alicji ${\displaystyle b_{i}}$
polaryzacja fotonu wysłanego przez Alicję
losowa baza pomiaru Boba ${\displaystyle b_{i}'}$
polaryzacja zmierzona przez Boba ${\displaystyle a_{i}'}$
procedura ujawnienia baz
uzgodniony tajny klucz	0		1			0		1

Przykład ataku

Najprostszym przykładem ataku na protokół kwantowej dystrybucji klucza jest atak intercept/resend. Osoba podsłuchująca, nazywana Ewą, przechwytuje kubity przesyłane przez Alicję, mierzy ich stany i próbuje odesłać takie same kubity Bobowi. Nie może jednak zrobić tego z pełną dokładnością, ze względu na ograniczenia mechaniki kwantowej. Dokonując pomiaru stanu kubitu, jednocześnie go niszczy. Ewa nie jest w stanie stwierdzić, w której bazie Alicja przygotowała kubit i wybiera losową z dwóch baz. Dokonuje w niej pomiaru i odsyła Bobowi kubit w takim samym stanie, jaki zmierzyła. Jeżeli Ewa wybrała taką samą bazę jak Alicja, to trafnie odczytuje bit Alicji i przesyła Bobowi identyczny kubit. Jednakże w przypadku wybrania innej bazy Ewa otrzymała losowy wynik i odsyła niepoprawny kubit Bobowi.

losowy bit Alicji ${\displaystyle a_{i}}$	0	1	1	0	1	0	0	1
losowa baza Alicji ${\displaystyle b_{i}}$
polaryzacja fotonu wysłanego przez Alicję
losowa baza pomiaru Ewy
polaryzacja zmierzona przez Ewę i odesłana Bobowi
losowa baza pomiaru Boba ${\displaystyle b_{i}'}$
polaryzacja zmierzona przez Boba ${\displaystyle a_{i}'}$
tajny klucz Boba	0		1			1		1
zgodność kluczy Alicji i Boba	${\displaystyle \surd }$		${\displaystyle \surd }$			${\displaystyle \times }$		${\displaystyle \surd }$
tajny klucz Ewy	0		1			0		0

Ewa nie tylko nie poznała całego klucza, ale też wprowadziła błędy w kluczu Boba. Teraz Alicja i Bob, porównując jawnie część bitów swoich kluczy, mogą wykryć podsłuch i oszacować liczbę bitów klucza uzyskanych przez Ewę. Jeżeli zgodność pomiędzy kluczami Alicji i Boba jest dostatecznie wysoka, a informacja, którą posiada Ewa dostatecznie mała, Alicja i Bob mogą poprzez klasyczne procedury wzmocnienia prywatności i uzgadniania informacji uzyskać klucze o dowolnie małym błędzie i dowolnie niskiej zgodności z kluczem Ewy. Poprawa jakości klucza następuje kosztem zmniejszenia liczby bitów.

Przypisy

Bibliografia

• Michael A.M.A. Nielsen Michael A.M.A., Isaac L.I.L. Chuang Isaac L.I.L., Quantum Computing and Quantum Information, Cambridge: Cambridge University Press, 2000, s. 587–588, ISBN 0-521-63503-9 .