In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf.
Eindigdimensionale geval
Lineaire transformatie vastgelegd door de beelden van een basis
Een lineaire transformatie werkt altijd op een vectorruimte
van een gegeven aantal
dimensies. De lineaire transformatie
wordt vastgelegd door de beelden
van een geordende basis
van
. Een willekeurige vector
met coördinaten
ten opzichte van deze basis wordt immers afgebeeld op:
![{\displaystyle T(\mathbf {x} )=T\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\mathbf {b} _{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}T(\mathbf {b} _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92c708a3622791ada9b2798cc0d5ea16fb428bc)
Matrix van een lineaire transformatie
Door de keuze van een geordende basis
in
wordt de lineaire transformatie
geheel bepaald door de matrix
die als elementen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren heeft. Deze beelden worden bepaald door:
,
Voor het beeld
van
geldt dus:
.
zodat:
.
Dit komt neer op het matrixproduct van de kolomvector
van de coördinaten van
met de matrix
, met als resultaat de kolomvector
van de coördinaten van
:
.
Uitgeschreven ziet dat er zo uit:
,
waarin
. De matrix
die de transformatie
representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.
Voorbeeld
De lineaire transformatie
van de vectorruimte
beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) op de vectoren (3,2) en (5,4) af. Daarmee is
geheel vastgelegd. De matrix van
is dan
.
Het beeld van bijvoorbeeld de vector
heeft de coördinaten:
.
Dus is
.
Determinant, rang en nulruimte
Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan verschillend van 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn. De matrix
is in dit geval regulier en de kern ervan bestaat alleen uit de nulvector.
Als de transformatie geen inverse heeft, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren spannen dan een deelruimte op van een kleinere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.
Lineaire transformaties van het vlak
Lineaire transformaties van de
kunnen worden beschreven door een 2×2-matrix
. Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van
, als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:
Identiteit
Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.
.
Rotatie
Een rotatie van 90° tegen de klok in:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe04e4afe4cc9ab76ee8376e6efc64a3551835cc)
Een rotatie over een hoek
tegen de klok in:
.
Spiegeling
Spiegeling om de
-as:
.
Schaling
Een homothetie met factor 2:
.
Een schaling met een factor
in de horizontale richting en een factor
in de verticale richting:
.
Afschuiving
Horizontale afschuiving:
.
Samendrukking
Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken, met factor
:
.
Projectie
Projectie op de
-as:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c529e9392dbafa3f0ca7fbb0d3f205ecaf0bdac8)
Algemene lineaire groep
De lineaire afbeeldingen van een vectorruimte
vormen een groep, de algemene lineaire groep van
. Die groep wordt gewoonlijk genoteerd als
.
Bewerkingen met lineaire transformaties
Som van twee lineaire transformaties
Als
en
lineaire transformaties zijn van een vectorruimte
, is hun som
, die gedefinieerd is door
,
ook een lineaire transformatie van
.
Eindigdimensionale geval:
Ten opzichte van een basis van
is de matrix
van
gelijk aan de som
van de matrices
en
van
en
:
.
Product van een lineaire transformatie met een reëel getal
Als
een lineaire transformatie is van een vectorruimte
en
een reëel getal, dan is het scalaire product
, dat gedefinieerd is door
,
ook een lineaire transformatie van
.
Eindigdimensionale geval:
Ten opzichte van een basis van
is de matrix
van
gelijk aan het scalaire product
van
en de matrix
van
:
.
Samenstelling van lineaire transformaties
Als
en
lineaire transformaties zijn van een vectorruimte
, dan hun samenstelling
, die gedefinieerd is door
,
ook een lineaire transformatie van
.
Eindigdimensionale geval:
Ten opzichte van een basis van
is de matrix
van
gelijk aan het matrixproduct
van de matrices
en
van
en
:
.
Eigenwaarden en eigenvectoren van een lineaire transformatie
Zie Eigenwaarde (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp. Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte
zijn er die een deelruimte
op zichzelf afbeelden. Als
eendimensionaal is, heet iedere vector
een eigenvector van de transformatie. De eigenvector
wordt afgebeeld op een veelvoud
van
. De factor
heet eigenwaarde van de transformatie.
Eigenschappen
- De eigenvectoren van een lineaire transformatie
die behoren bij dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte
. Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde. - Als een lineaire transformatie bijectief is, is de inverse ook een lineaire transformatie.
Eindigdimensionale geval:
- Als een lineaire transformatie van een
-dimensionale ruimte,
verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van
. - Als er in een vectorruimte een basis bestaat met alleen eigenvectoren van een lineaire transformatie, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.