F-verdeling

F-verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	${\displaystyle m>0,\ n>0}$ vrijheidsgraden
Drager	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Kansdichtheid	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(m\,x)^{m}\,\,n^{n}}{(m\,x+n)^{m+n}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle I_{\frac {mx}{mx+n}}(m/2,n/2)}$
Verwachtingswaarde	${\displaystyle {\frac {n}{n-2}}}$ als ${\displaystyle n>2}$
Modus	${\displaystyle {\frac {m-2}{m}}\;{\frac {n}{n+2}}}$ als ${\displaystyle m>2}$
Variantie	${\displaystyle {\frac {2\,n^{2}\,(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$ als ${\displaystyle n>4}$
Scheefheid	${\displaystyle {\frac {(2m+n-2){\sqrt {8(n-4)}}}{(n-6){\sqrt {m(m+n-2)}}}}}$ als ${\displaystyle n>6}$
Moment- genererende functie	bestaat niet
Portaal    Wiskunde

De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee onderling onafhankelijke chi-kwadraatverdeelde grootheden. Zij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met ${\displaystyle m}$ vrijheidsgraden in de teller en ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van de stochastische variabele:

${\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}$,

waarin ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ en ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide chi-kwadraatverdeeld zijn met respectievelijk ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden.

Als ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ en ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste ${\displaystyle m}$ en de laatste ${\displaystyle n}$ van ${\displaystyle m+n}$ onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{m+n}}$, dan heeft de grootheid

${\displaystyle F={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}}$

een F-verdeling met ${\displaystyle m-1}$ en ${\displaystyle n-1}$ vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraatverdeeld is.

Kansdichtheid

De formule van de kansdichtheid ${\displaystyle f_{m,n}}$ wordt voor ${\displaystyle x>0}$ gegeven door:

${\displaystyle f_{m,n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\frac {({\frac {m}{n}})^{m/2}x^{m/2-1}}{(1+{\frac {m}{n}}x)^{(m+n)/2}}}}$

Verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde is

${\displaystyle \operatorname {E} F_{m,n}={\frac {n}{n-2}}}$;

deze bestaat dus voor ${\displaystyle n>2}$.

Variantie

De variantie is

${\displaystyle \operatorname {var} (F_{m,n})=2\left({\frac {n}{n-2}}\right)^{2}{\frac {m+n-2}{m(n-4)}}}$;

deze bestaat voor ${\displaystyle n>4}$.