Bolcoördinaten

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt in drie dimensies de afstand ${\displaystyle r}$ van het punt ${\displaystyle P}$ tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. De beide andere coördinaten zijn hoeken. De tweede coördinaat is de hoek ${\displaystyle \theta }$ die de lijn ${\displaystyle OP}$ met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval ${\displaystyle [0,\pi ]}$. De derde coördinaat is de hoek ${\displaystyle \varphi }$ die de projectie van ${\displaystyle OP}$ in het ${\displaystyle xy}$-vlak maakt met de positieve ${\displaystyle x}$-as. Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde en materiaalkunde. In een wiskundige context worden vaak de rollen van ${\displaystyle \theta }$ en ${\displaystyle \varphi }$ omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van ${\displaystyle r}$ het symbool ${\displaystyle \rho }$ gebruikt.

Het verband tussen de cartesische coördinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ en de bolcoördinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle x=r\ \sin(\theta )\cos(\varphi )}$

${\displaystyle y=r\ \sin(\theta )\sin(\varphi )}$

${\displaystyle z=r\ \cos(\theta )}$

Op de ${\displaystyle z}$-as is het stelsel gedegenereerd: voor ${\displaystyle \theta =0}$ doet de hoek ${\displaystyle \varphi }$ niet ter zake en geldt ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,r)}$. Evenzo: voor ${\displaystyle \theta =\pi }$ geldt ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,-r)}$. Voor ${\displaystyle r=0}$ doen de hoeken ${\displaystyle \theta }$ en ${\displaystyle \varphi }$ niet ter zake en geldt ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$.

Jacobiaan

De jacobi-matrix van deze transformatie is:

${\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&\sin(\theta )\sin(\varphi )&\cos(\theta )\\{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\cos(\varphi )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\sin(\varphi )&-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin(\varphi )}{\sin(\theta )}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos(\varphi )}{\sin(\theta )}}&0\end{bmatrix}}}$

Omgekeerd

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&r\cos(\theta )\cos(\varphi )&-r\sin(\theta )\sin(\varphi )\\\sin(\theta )\sin(\varphi )&r\cos(\theta )\sin(\varphi )&r\sin(\theta )\cos(\varphi )\\\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

Coördinatentransformatie

Een functie ${\displaystyle f}$ van de drie variabelen ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle z}$ krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

${\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta )\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))}$

Een vectorveld ${\displaystyle F}$, met in het punt ${\displaystyle (x,y,z)}$ de componenten

${\displaystyle F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)}$ en ${\displaystyle F_{z}(x,y,z)}$,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal ${\displaystyle r}$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van ${\displaystyle \varphi }$ en in de "richting" van ${\displaystyle \theta }$, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door ${\displaystyle r}$ in het vlak door ${\displaystyle r}$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door ${\displaystyle r}$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

${\displaystyle F_{r}=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )}$

${\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )}$

${\displaystyle F_{\varphi }=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )}$

Omgekeerd:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\varphi )\sin(\theta )-F_{\varphi }\sin(\varphi )+F_{\theta }\cos(\varphi )\cos(\theta )}$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\varphi )\sin(\theta )+F_{\varphi }\cos(\varphi )+F_{\theta }\sin(\varphi )\cos(\theta )}$

${\displaystyle F_{z}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )}$

Voorbeeld

De functie ${\displaystyle f}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

${\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta )\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))=}$

${\displaystyle (r\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{2}+(r\sin(\theta )\sin(\varphi ))^{2}+(r\cos(\theta ))^{2}=r^{2}}$

Het vectorveld ${\displaystyle F}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle F_{x}(x,y,z)=x}$

${\displaystyle F_{y}(x,y,z)=y}$

${\displaystyle F_{z}(x,y,z)=z}$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

${\displaystyle F_{r}(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )=}$

${\displaystyle x\sin(\theta )\cos(\varphi )+y\sin(\theta )\sin(\varphi )+z\cos(\theta )=r}$

${\displaystyle F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )=-x\sin(\varphi )+y\cos(\varphi )=0}$

${\displaystyle F_{\varphi }(r,\ theta,\varphi )=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )=}$

${\displaystyle x\cos(\theta )\cos(\varphi )+y\cos(\theta )\sin(\varphi )-z\sin(\theta )=0}$

Coördinaten op een boloppervlak

Een boloppervlak met straal ${\displaystyle R}$ heeft in bolcoördinaten de vergelijking ${\displaystyle r=R}$ indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde ${\displaystyle \theta }$ wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten ${\displaystyle x,y,z}$ en de bolcoördinaten ${\displaystyle \theta ,\phi }$ op het boloppervlak met straal ${\displaystyle r}$ wordt dan dus gegeven door: (merk op dat deze formules niet overeen komen met de tekening op deze pagina hierboven; dit komt omdat er een andere keuze is gemaakt voor de hoeken)

${\displaystyle x=r\ \cos \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=r\ \cos \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=r\ \sin \theta }$

Omgekeerd zijn:

${\displaystyle {\theta }=\cos ^{-1}\left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\phi }=\tan ^{-1}\left({\frac {y}{x}}\right)}$

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor ${\displaystyle \theta }$ breedte, voor ${\displaystyle \phi }$ lengte, voor het punt ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ noordpool, voor het punt ${\displaystyle \theta =-\pi /2}$ zuidpool, en voor het vlak ${\displaystyle \theta =0}$ basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met ${\displaystyle \theta }$ aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting ${\displaystyle \phi =0}$.

Geografische coördinaten corresponderen met een ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- en ${\displaystyle z}$-as volgens de rechterhandregel, met een positieve ${\displaystyle x}$-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve ${\displaystyle y}$-as in 0° NB 90° OL en een positieve ${\displaystyle z}$-as in 90° NB. Als oosterlengte positief wordt gerekend correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve ${\displaystyle z}$-richting.