Piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso

Piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	40+60 triangoli 12 pentagrammi
Nº facce	112
Nº spigoli	180
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-8
Incidenza dei vertici	(35.5/3)/2
Notazione di Wythoff	| 3/2 3/2 5/2
Notazione di Schläfli	sr{5/3,3/2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande esacontaedro pentagrammico
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso è un poliedro stellato uniforme avente 112 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 180 spigoli e 60 vertici.^[1] In esso, le 40 delle 80 facce triangolari non camuse formano 20 coppie complanari, formando esagoni stellati irregolari.

Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso, spesso indicato con il simbolo U₇₂ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro troncato non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$${\displaystyle {\begin{array}{crrrc}{\Bigl (}&\pm {\bigl [}1-\varphi -\alpha {\bigr ]},&0\,,&\pm {\bigl [}3-\varphi \alpha {\bigr ]}&{\Bigr )},\\{\Bigl (}&\pm {\bigl [}\varphi -1-\alpha {\bigr ]},&\pm \,2\,,&\pm {\bigl [}2\varphi -1-\varphi \alpha {\bigr ]}&{\Bigr )},\\{\Bigl (}&\pm {\bigl [}\varphi +1-\alpha {\bigr ]},&\pm \,2{\bigl [}\varphi -1{\bigr ]},&\pm {\bigl [}1-\varphi \alpha {\bigr ]}&{\Bigr )},\end{array}}}$$ dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea e ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}}$.

Come detto, l'inviluppo convesso del piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso è un dodecaedro troncato non uniforme.

Dodecaedro troncato

Inviluppo convesso

Piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso

Piccolo esacontaedro esagrammico
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Esagrammi irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	180
Nº vertici	112
Caratteristica di Eulero	-8
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso
Manuale

Il piccolo esacontaedro esagrammico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso, avente per facce 60 esagrammi irregolari.^[2]

Dato un piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo esacontaedro esagrammico come composto da 60 facce intersecanti a forma di esagramma irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ${\displaystyle \xi ={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1+4\phi }}\approx 0,933\,380\,199\,59}$, ogni faccia risulta avere cinque angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 21,031\,988\,967\,51^{\circ }}$ e un angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 254,840\,055\,162\,43^{\circ }}$, con quattro lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\displaystyle 1/2-1/2\times {\sqrt {(1-\xi )/(\phi ^{3}-\xi )}}\approx 0,428\,986\,992\,12}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo icosicosidodecaedro retrocamuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo esacontaedro esagrammico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica