Formula di Feynman-Kac

In matematica, la formula di Feynman-Kac, il cui nome si deve ai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac, è un'equazione che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE) utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici.

Si consideri una PDE nella forma

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)=0,}$

sotto la condizione terminale

${\displaystyle f(x,T)=\psi (x),}$

dove ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$ e ${\displaystyle \psi }$ sono funzioni note, e ${\displaystyle f}$ è incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],}$

dove ${\displaystyle X}$ è un processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica

${\displaystyle dX=\mu (X,t)dt+\sigma (X,t)dW_{t}}$.

Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita ${\displaystyle f}$. Si ha

${\displaystyle df(x,t)=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)\right)dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dW_{t}.}$

Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione restante si ottiene

${\displaystyle \int _{t}^{T}df(x,t)=f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t},}$

da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]}$

Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano ${\displaystyle W_{t}}$ è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]}$

La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-k(t)f(x,t)=0}$

sotto la condizione terminale

${\displaystyle \ f(x,T)=\psi (x)}$

ha per soluzione:

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}$

La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione

${\displaystyle g(x,t)=f(x,t)\exp \left\{\int _{t}^{T}k(u)du\right\}.}$

La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.

Si consideri la PDE

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)f(x,t)+u(x,t)=0,}$

definita per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ e ogni ${\displaystyle t\in [0,T]}$, soggetta alla condizione:

${\displaystyle f(x,T)=\psi (x),}$

dove ${\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,u}$, sono funzioni note, ${\displaystyle T}$ è un parametro e ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ l'incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso condizionato

${\displaystyle f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}$

rispetto alla misura di probabilità ${\displaystyle Q}$, tale per cui ${\displaystyle X}$ è un processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:

${\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q}}$

dove ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ è un processo di Wiener (moto browniano) e la condizione iniziale per ${\displaystyle X(t)}$ è ${\displaystyle X(0)=x}$.

Sia ${\displaystyle f(x,t)}$ una soluzione dell'equazione. Applicando il lemma di Itō al processo:

${\displaystyle Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr}$

si ottiene:

${\displaystyle dY=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,df(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }df(X_{s},s)+d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr}$

Dal momento che:

${\displaystyle de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds}$

il terzo termine è ${\displaystyle o(dtdu)}$ e può essere trascurato. Si ha inoltre che:

${\displaystyle d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)ds}$

Applicando nuovamente il lemma di Itō a ${\displaystyle du(X_{s},s)}$ segue che${\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)f(X_{s},s)+u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial f}{\partial X}}+{\frac {\partial f}{\partial s}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}\right)\,ds+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW}$Il primo termine contiene tra parentesi la PDE iniziale, ed è quindi nullo. Rimane

${\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW.}$

Integrando questa equazione da ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle T}$ si conclude che

${\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW}$

Prendendo il valore atteso (condizionato su ${\displaystyle X_{t}=x}$) e osservando che il membro alla destra è un integrale di Itō, che ha valore atteso nullo, segue che:

${\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)}$

Il risultato cercato si ottiene osservando che

${\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]}$

ed infine:

${\displaystyle f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].}$

• (EN) Barry Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
• (EN) B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.
• (EN) Huyên Pham, Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications, Springer-Verlag, 2009.

• Equazione differenziale stocastica
• Lemma di Itō
• Moto browniano
• Processo stocastico
• Valore atteso condizionato