Formula aperta

Una formula aperta è una formula che contiene almeno una variabile libera.

Una formula aperta non è associata ad un valore di verità, diversamente da una formula chiusa che è sempre una proposizione e che quindi può avere un valore di verità vero o falso . Una formula aperta può essere trasformata in una formula chiusa applicando i quantificatori o specificando il dominio del discorso degli individui per ogni variabile libera (indicata con x, y, z.... o con x_1 , x_2 , x_3, ecc.). Questo tipo di trasformazione è chiamata cattura delle variabili libere perché tende a trasformarle in variabili vincolate a un dominio di costanti individuali.

Ad esempio, quando si ragiona sui numeri naturali, la formula " x +2 > y " è aperta, poiché contiene le variabili libere xe 'y . Al contrario, la formula " ∃ y ∀ x : x +2 > y " è chiusa grazie all'uso dei quantificatori e ha valore di verità vero.

Un esempio di formula chiusa con valore di verità falso riguarda la sequenza dei numeri di Fermat:

F_{n}=2^{2^{n}}+1,

studiata da Fermat in relazione alla proprietà dei numeri primi. Se si unisce il predicato P (è numero primo) a ogni numero della sequenza si ottiene un insieme di formule chiuse false quando il rango n è maggiore di 4. Quindi, la formula chiusa ∀n P(F_n) è falsa.

Bibliografia

(DE) Wolfgang Rautenberg, Einführung in die Mathematische Logik, 3ª ed., Wiesbaden, Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2.
(DE) H.-P. Tuschik, H. Wolter, Mathematische Logik – kurzgefaßt, Heidelberg, Spektrum, Akad. Verlag, 2002, ISBN 3-8274-1387-7.