Diagramma commutativo

In matematica, un diagramma commutativo è un diagramma comprendente vari oggetti e morfismi tra essi tale che, per ogni coppia di oggetti, ogni percorso che li collega produce la stessa applicazione finale (in termini di composizione di funzioni). I diagrammi commutativi giocano in teoria delle categorie il ruolo che hanno le equazioni in algebra.

Prendendo la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali sintetizzata nell'immagine

si ha per definizione di ${\displaystyle V\otimes W}$ che ${\displaystyle v\cdot w=\varphi (v\otimes w)}$, cioè componendo l'applicazione ${\displaystyle \varphi }$ dopo ${\displaystyle \otimes }$ otteniamo esattamente ${\displaystyle \cdot }$: per questo motivo tale diagramma è commutativo.

Un esempio che coinvolge più di tre oggetti, sempre riguardante il prodotto tensoriale, è il seguente:

Questo diagramma è commutativo poiché ${\displaystyle s\circ i=\rho }$ e ${\displaystyle f\circ \pi =s}$ (da cui abbiamo anche ${\displaystyle f\circ \pi \circ i=\rho }$).

Ovviamente tale proprietà deve valere per ogni possibile "percorso" contenuto nel diagramma: se per esempio ogni funzione nel diagramma sopra ammettesse un'inversa, allora affinché tale diagramma fosse stato commutativo sarebbe dovuto valere anche ${\displaystyle \pi ^{-1}=s^{-1}\circ f}$, ${\displaystyle \rho ^{-1}\circ f=i^{-1}\circ \pi ^{-1}}$ e così via.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su diagramma commutativo

• (EN) Eric W. Weisstein, Diagramma commutativo, su MathWorld, Wolfram Research.

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