Cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Fissiamo due punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, in modo che ${\displaystyle A}$ coincida con l'origine degli assi e ${\displaystyle B}$ sia posto a distanza ${\displaystyle d}$ da esso. Un generico punto ${\displaystyle P}$ del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}=k}$,

dove ${\displaystyle k}$ è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {\left(x-d\right)^{2}+y^{2}}}}=k}$,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=k^{2}\left(x-d\right)^{2}+k^{2}y^{2}}$.

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {2k^{2}d}{\left(k^{2}-1\right)}}x+{\frac {k^{2}d^{2}}{\left(k^{2}-1\right)}}=0}$.

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

• il centro del cerchio è posto in ${\displaystyle C\left({\frac {k^{2}}{k^{2}-1}}d,0\right)}$, e si trova sempre sul prolungamento del segmento ${\displaystyle AB}$;
• il raggio del cerchio vale ${\displaystyle {\frac {kd}{k^{2}-1}}}$;
• per ${\displaystyle k=1}$ il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento ${\displaystyle AB}$; per ${\displaystyle k>1}$ il cerchio contiene il punto ${\displaystyle B}$; per ${\displaystyle 0<k<1}$ il cerchio contiene il punto ${\displaystyle A}$;
• quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento ${\displaystyle AB}$.

• Circonferenza
• Cerchio
• Problema di Apollonio

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su cerchio di Apollonio

• (EN) Weisstein, Eric W. "Apollonius Circle" Da MathWorld--Wolfram Web Resource., su mathworld.wolfram.com.
• Problemi di inseguimento, una applicazione del cerchio di Apollonio
• Una applet java interattiva per disegnare il cerchio di Apollonio

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