Exponenciális eloszlás

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ – vagy rövidebben exponenciális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

ahol λ > 0.

Az exponenciális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

Karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi (t)=\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}$

Az exponenciális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}}$

Szórása

${\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {1}{\lambda }}}$

Momentumai

${\displaystyle \mathbf {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}}$

Ferdesége

${\displaystyle \beta _{1}(X)=2\,}$

Lapultsága

${\displaystyle \beta _{2}(X)=6\,}$

Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, … X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + … + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
• Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, vagyis tetszőleges ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle \Delta x>0}$ esetén teljesül, hogy:

${\displaystyle P\left(X\geq x+\Delta x\ |\ X\geq x\right)=P\left(X\geq \Delta x\right)}$

Megjegyzés

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen a ∈ R értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.