Castigliano-tétel

A Castigliano-tétel a szilárdságtan egyik munkatétele, amely rúdszerkezetek igénybevétele esetén alkalmazható. A Castigliano-tétel mellett a szilárdságtan másik munkatétele a Betti-tétel.

A tétel kimondása és alkalmazása

A tétel kimondása

Egy külső erőkből és erőpárokból, valamint a reakcióerőkből álló erőrendszer hatására P_i pont elmozdul P_i'-be. f_i a pont F_i erő irányába eső elmozdulása. (A szerkezet statikailag határozott.)

A Castigliano-tétel kimondja, hogy az alakváltozási energiának a szerkezetet terhelő valamely koncentrált erő szerinti parciális deriváltja megadja az erő támadáspontjának az erő irányába eső elmozdulását. Rúdszerkezetek esetén ez általánosítható erőpárokra is; az alakváltozási energiának a szerkezetet terhelő valamely koncentrált erőpár szerinti parciális deriváltja megadja a keresztmetszet erőpár tengelye körüli szögelfordulását.

Képletekkel:

${\frac {\partial U(...F_{i}...)}{\partial F_{i}}}=f_{i}$

${\frac {\partial U(...M_{j}...)}{\partial M_{j}}}=\phi _{j}$

ahol:

$F_{i}$ és $M_{j}$ - koncentrált erő ill. erőpár
$f_{i}$ - az $F_{i}$ koncentrált erő támadáspontjának elmozdulása
$\phi _{j}$ - az $M_{j}$ koncentrált erőpár támadáspontjának szögelfordulása
$U(...)$ - az alakváltozási energia-függvény

A tétel alkalmazásának feltétele

Fontos, hogy a Castigliano-tétel csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált szerkezet statikailag határozott. Ez azt jelenti, hogy a reakció-erőrendszer (és így az alakváltozási energia is) kifejezhető az aktív erők függvényeként:

U = U(aktív erőrendszer)

A tétel alkalmazása rúdszerkezetekre

A Castigliano-tételt használhatjuk a fent említett módon keresztmetszetek elmozdulásának és szögelfordulásának meghatározására. Ezenkívül statikailag határozatlan szerkezetek esetén a reakcióerők kiszámításában nyújt segítséget, ugyanis a tételt kényszerfeltételekként írhatjuk fel. (Például előre látható, hogy egy befogott keresztmetszet sem elfordulni, sem elmozdulni nem fog az alakváltozás során, illetve egy csuklós befogás keresztmetszete nem fog elmozdulni, csak elfordulni.) A kényszerfeltételeket matematikai formában a fenti egyenletek írják le, így kellő számú független egyenletet kaphatunk ahhoz, hogy a reakcióerőket kiszámítsuk.

Az alakváltozási energia képletét felhasználva, rúd hajlítása és csavarása esetén:

$f_{i}={\frac {\partial U}{\partial F_{i}}}=\int _{l}^{}{\frac {M_{h}}{I_{y}E}}{\frac {\partial M_{h}}{\partial F_{i}}}\,dx+\int _{l}^{}{\frac {M_{t}}{I_{p}G}}{\frac {\partial M_{t}}{\partial F_{i}}}\,dx$

$\phi _{j}={\frac {\partial U}{\partial M_{j}}}=\int _{l}^{}{\frac {M_{h}}{I_{y}E}}{\frac {\partial M_{h}}{\partial M_{j}}}\,dx+\int _{l}^{}{\frac {M_{t}}{I_{p}G}}{\frac {\partial M_{t}}{\partial M_{j}}}\,dx$