Image réciproque

Représentation de l'image réciproque f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} de B par une fonction f (qui ici est injective mais non surjective).

En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : f − 1 ( B ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) ∈ B } {\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}} . Elle est donc caractérisée par :

x ∈ f − 1 ( B ) ⇔ f ( x ) ∈ B {\displaystyle x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B} .

Exemples

  • L'image réciproque f − 1 ( { y } ) {\displaystyle f^{-1}(\{y\})} d'un singleton { y } {\displaystyle \{y\}} par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
  • Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f−1({a, b}) = {1}.

L'application « image réciproque »

Avec cette définition, f−1 est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f−1, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f−1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane[1] parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f−1.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B 1 {\displaystyle B_{1}} et B 2 {\displaystyle B_{2}} de Y {\displaystyle Y}  :
    f − 1 ( B 1 ∪ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∪ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\cup B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}  ;
    f − 1 ( B 1 ∩ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∩ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\cap B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}  ;
    f − 1 ( B 1 ∖ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∖ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})} .
  • Pour toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} , f ( f − 1 ( B ) ) = B ∩ I m ( f ) {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm {Im} (f)} [2].
    • En particulier, si f {\displaystyle f} est surjective alors f ( f − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B} .
      On peut même prouver[2] que f {\displaystyle f} est surjective si et seulement si pour toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} on a f ( f − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B} .
  • Pour toute partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} , A ⊂ f − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))} .
    L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si f {\displaystyle f} n'est pas injective.
    On peut même prouver que f {\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toute partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} on a f − 1 ( f ( A ) ) = A {\displaystyle f^{-1}(f(A))=A} .
  • Pour toute famille ( B i ) i ∈ I {\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in I}} de parties de Y {\displaystyle Y}  :
    f − 1 ( ⋂ i ∈ I B i ) = ⋂ i ∈ I f − 1 ( B i ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}  ;
    f − 1 ( ⋃ i ∈ I B i ) = ⋃ i ∈ I f − 1 ( B i ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})} .
  • Si l'on considère de plus une application g : Y → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} , alors l'image réciproque d'une partie C {\displaystyle C} de Z {\displaystyle Z} par la composée g ∘ f {\displaystyle g\circ f} est :
    ( g ∘ f ) − 1 ( C ) = f − 1 ( g − 1 ( C ) ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))} [1].

Notes et références

  1. ↑ a et b Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8; ex 3 p. 9
  2. ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur Wikiversité.

Articles connexes

  • Relation binaire réciproque
  • L'opération d'image réciproque en géométrie différentielle, aussi appelée « tiré en arrière » ou « pullback ».
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