Densité mélange

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En statistiques, on appelle densité mélange, ou loi mélange, une fonction de densité qui est issue d'une combinaison convexe de plusieurs fonctions de densité.

Définition

En prenant une fonction f ( x , θ ) {\displaystyle f(x,\theta )} , densité d'une variable aléatoire x {\displaystyle x} paramétrée par θ {\displaystyle \theta } . Par exemple, si f {\displaystyle f} est une loi normale, alors θ {\displaystyle \theta } est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle θ 1 , … , θ K {\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{K}} une famille de paramètres et π 1 , … , π K {\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{K}} une famille de scalaires tels que

∑ k = 1 K π k = 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\pi _{k}=1} ,

alors, la fonction g {\displaystyle g} définie par

g ( x , θ 1 , … , θ K ) = ∑ k = 1 K π k f ( x , θ k ) {\displaystyle g(x,\theta _{1},\dots ,\theta _{K})=\sum _{k=1}^{K}\pi _{k}f(x,\theta _{k})}

est la fonction de densité d'une loi mélange à K {\displaystyle K} composantes.

On peut étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble Ω {\displaystyle \Omega } de paramètres, si on a

∫ Ω π ( θ ) d θ = 1 , {\displaystyle \int _{\Omega }\pi \left(\theta \right)d\theta =1,}

alors, la fonction

g ( x , Ω ) = ∫ Ω π ( θ ) f ( x , θ ) d θ {\displaystyle g\left(x,\Omega \right)=\int _{\Omega }\pi (\theta )f(x,\theta )d\theta }

est une densité mélange.

Fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Propriétés

Une densité mélange de densités est elle-même une densité. Cela est notamment dû au fait d'utiliser une combinaison convexe dans la définition (ce ne serait pas nécessairement le cas avec une combinaison linéaire quelconque).

Notes et références

Voir aussi

  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique