Traza parcial

En el álgebra lineal y el análisis funcional, la traza parcial es una generalización de la traza. Mientras que la traza es una función a valores escalares sobre operadores, la traza parcial es una función operador-valorada. La traza parcial tiene usos en la interpretación de estados relativos (Many-worlds) de la mecánica cuántica.

Los detalles

Supóngase V, W son espacios vectoriales sobre un cuerpo finito-dimensionales de dimensiones m, n respectivamente. La traza parcial Tr_V es una función

${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)\ni T\mapsto \operatorname {Tr} _{V}(T)\in \operatorname {L} (V)}$

Se define como sigue: sea

${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$

y

${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,1\leq \ell ,j\leq n}$

relativo a la base

${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$

de

${\displaystyle V\otimes W}$.

Ahora para los índices k, i en el rango 1,...,m, considérese la suma:

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}$

esto da una matriz b_{k, i}. El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de bases y es por definición la traza parcial.

Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=R\,\operatorname {Tr} (S)\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)}$

el operador de traza parcial puede ser caracterizado invariantemente como sigue: Es el único operador lineal

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:V\otimes W\rightarrow V}$

tal que

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{V}(1_{V\otimes W})=\dim W\ 1_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{V}(T(1_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{V}((1_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$

Traza parcial para los operadores en los espacios de Hilbert

La traza parcial se generaliza a los operadores en los espacios de Hilbert infinito dimensionales. Supóngase V, W son espacios de Hilbert, y sea

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

una base ortonormal para W. Hay un isomorfismo isométrico

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

Bajo esta descomposición, cualquier operador ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$ se puede mirar como matriz infinita de operadores en V

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}}}$

primero supóngase que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz antedicha son operadores no negativos en V. Si la suma

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

converge en la topología fuerte de operadores de L(V), es independiente de la base elegida de W. La traza parcial Tr_V(T) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto está definida ssi las trazas parciales de las partes positiva y negativa están definidas.

Computando la traza parcial

Supóngase que W tiene una base ortonormal, que denotamos por la notación vectorial de ket como ${\displaystyle \{|\ell \rangle \}_{\ell }}$. Entonces

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{V}\left(\sum _{k,\ell }T_{k\ell }\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T_{jj}}$

Traza parcial e integración invariante

En el caso de los espacios de Hilbert finito dimensionales, hay una manera útil de ver la traza parcial que implica la integración con respecto a una medida de Haar convenientemente normalizada μ sobre el grupo unitario U(W) de W. Convenientemente normalizada significa que μ se toma como una medida con masa total igual a la dim(W).

Teorema. Supóngase V, W son espacios de Hilbert finito dimensionales. Entonces

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(1_{V}\otimes U^{*})T(1_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

conmuta con todos los operadores de la forma ${\displaystyle 1_{V}\otimes S}$ y por tanto es unívocamente de la forma ${\displaystyle R\otimes 1_{W}}$. El operador R es la traza parcial de T.