Partición de un conjunto

Una partición de un conjunto A está formada por los subconjuntos A₁, A₂, A₃, ..., A_n, los cuales deben cumplir:

• Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.

A₁ ${\displaystyle \cup }$ A₂ ${\displaystyle \cup }$ A₃ ${\displaystyle \cup }$ ... ${\displaystyle \cup }$ A_n = A

• Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
• Que ningún subconjunto sea vacío.

Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.

El concepto de partición está ligado al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto ${\displaystyle A}$ define una partición de ${\displaystyle A}$, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación

Ejemplo:

Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:

A₁ = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}

A₂ = {1,2} ⋃ {3}

A₃ = {1} ⋃ {2,3}

A₄ = {1,3} ⋃ {2}

A₅ = {1, 2, 3}

Número de particiones

El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell B_n. Los primeros números de Bell son B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203, ...

Referencias

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 
• Weisstein, Eric W. «Bell Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Véase también

• Recubrimiento (matemática)
• Partición de un intervalo