Medida de conteo

En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto: el "tamaño" de un subconjunto se considera el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos e infinito ${\displaystyle \infty }$ si el subconjunto es infinito. ^[1]​

La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio mensurable (es decir, cualquier conjunto ${\displaystyle X}$ junto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables. ^[1]​

En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto ${\displaystyle X}$ en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de ${\displaystyle X}$ como el álgebra sigma ${\displaystyle \Sigma ;}$ es decir, todos los subconjuntos de ${\displaystyle X}$ son conjuntos medibles. Entonces la medida de conteo ${\displaystyle \mu }$ en este espacio mensurable ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ es la medida positiva ${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$ definido por$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}$$para todos ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$ dónde ${\displaystyle \vert A\vert }$ denota la cardinalidad del conjunto ${\displaystyle A.}$ ^[2]​

La medida de conteo en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ es σ-finito si y sólo si el espacio ${\displaystyle X}$ es contable. ^[3]​

Integración en ${\displaystyle \mathbb {N} }$ con medida de conteo

Toma el espacio de medida ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$, dónde ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y ${\displaystyle \mu }$ la medida de conteo. Tome cualquier mensurable ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$. Como se define en ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle f}$ se puede representar puntualmente como$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$Cada ${\displaystyle \phi _{M}}$ es mensurable. Además ${\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$. Aún más, como cada ${\displaystyle \phi _{M}}$ es una función sencilla$${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$Por tanto, según el teorema de convergencia monótona$${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

Discusión

La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ define una medida ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ a través de$${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,}$$donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas de todos los subconjuntos finitos, es decir,$${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}$$Tomando ${\displaystyle f(x)=1}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ da la medida de conteo.

Referencias