Multinomial |
---|
Parámetros | número de pruebas (entero)
probabilidad de un suceso concreto ( ) |
---|
Dominio | ![{\displaystyle X=\left(x_{1},\dots ,x_{k}\right)'\in \mathbb {Z} ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c1fa6136d343a884d4980c09adcb8d2bb9886f)
![{\displaystyle x_{i}\in \{0,\dots ,n\}\ ;\;\Sigma x_{i}=n\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42a1281e8754c8a3b05c1c7f5f0e36bf0b8c612) |
---|
Función de densidad (pdf) | ![{\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9f1a2ffd551b31409e44765b246d0de1cce9c2) |
---|
Media | ![{\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b006b6fb636d3fe2493e6697d9127d71265a676) |
---|
Varianza | ![{\displaystyle \textstyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a5082accd4c3f1953638082840847030fbe8dc)
![{\displaystyle \textstyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e1f503c96a75dfdcd561ce506eff58f65e3cc1) |
---|
Función generadora de momentos (mgf) | ![{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050308c0ea230c2a03c2dae58ef13f7191c71058) |
---|
[editar datos en Wikidata] |
En teoría de probabilidad, la distribución multinomial o distribución multinómica es una generalización de la distribución binomial.
La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades
(tal que
para i entre 1 y K y
); y con n sucesos independientes.
Entonces sea la variable aleatoria
, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector
sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde
.
Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.
Especificación
Función de probabilidad
La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{cuando }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{En otros casos,}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6569e48505d03c0512fda8aff2b98825723c13)
Para enteros no negativos x1, ..., xk.
Propiedades
La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f9dbf5d430c1c4e89ef05de704f3d466363e1a)
La varianza es:
![{\displaystyle \operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279033a5ad9ec7ea19a611abf95145b8e9f4392b)
Control de autoridades | - Proyectos Wikimedia
Datos: Q1147928 - Identificadores
- GND: 4263656-5
- Diccionarios y enciclopedias
- Britannica: url
|
---|
Datos: Q1147928