In der Ergodentheorie ist der Multiplikative Ergodensatz oder Satz von Oseledets ein mathematischer Lehrsatz, der das asymptotische Langzeitverhalten der Ableitungsmatrizen für Iterationen einer differenzierbaren Abbildung beschreibt.
Der Satz von Oseledets wird in der Regel in einer allgemeinen Fassung für matrixwertige Kozykel formuliert, aus der als spezielle Anwendung der multiplikative Ergodensatz für
-Diffeomorphismen folgt.
Version für matrixwertige Kozykel
Sei
ein maßerhaltende Abbildung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
und sei
eine Familie von Matrizen mit
![{\displaystyle A(m,T^{n}x)A(n,x)=A(m+n,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18f30669520ea7ba51c3897e989690c9fc51ff3)
für alle
, also ein matrixwertiger Kozykel. Sei
und
für alle
. Dann existiert für
-fast alle
und alle
mit
der Grenzwert
![{\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \Vert A(n,x)v\Vert }{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8c781879d3fcf3c51cdac750866a200b88b65e)
und nimmt höchstens
verschiedene Werte an, die von
, aber nicht von
abhängen. Diese Werte heißen Ljapunow-Exponenten. Bezeichnet man die unterschiedlichen Ljapunow-Exponenten mit
, dann gibt es Unterräume
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{r}=V_{1}\supset V_{2}\supset \ldots \supset V_{m}\supset V_{m+1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821c49ed8b895159d000b1d815915dd74a1eae2f)
mit
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log \Vert A(n,x)v\Vert }{n}}=\lambda _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481b65c85d3e6a875ac80492e30ff7fca3f9d7e4)
für
.
Version für Diffeomorphismen
Sei
eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und
ein
-Diffeomorphismus. Sei
ein ergodisches
-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gibt es für
-fast alle
messbar von
abhängende Zahlen
und eine messbar von
abhängende
-äquivariante Zerlegung
![{\displaystyle T_{x}M=E_{1}(x)\oplus \ldots \oplus E_{r}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e736d26070c81e8552ee6d9dd484dd9d912e31a)
mit
,
und
![{\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }{\frac {1}{n}}\log \Vert Jac(D_{x}f^{n})\Vert =\sum _{i=1}^{r(x)}\lambda _{i}(x)m_{i}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd832bd64435f52c9492f77ba6d04954f9cf162)
für
. Die
heißen Ljapunow-Exponenten, die
ihre Vielfachheiten. Aus Ergodizität von
folgt, dass sie
-fast überall konstant sind.
Literatur
- V.I. Oseledets: A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math. Soc. 19 (1968), 197–231.
- D. Ruelle: Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publ. IHÉS 50 (1979), 275–306.
Weblinks
- Oseledets theorem (Scholarpedia)